Sommes, carrés et figures
Les plus anciennes questions de mathématiques sont des questions de tas : combien de cailloux dans ce carré, combien en tout si j'empile un de plus à chaque rang. On peut y répondre en comptant. On peut aussi y répondre par un argument, et le compte devient alors inutile : c'est ce basculement, et non le résultat, qui fait les mathématiques.
La somme de 1 à 100
Un maître d'école de Brunswick donne à sa classe, pour avoir la paix, la somme de tous les entiers de 1 à 100. Un garçon d'environ neuf ans pose son ardoise presque aussitôt. Il s'appelle Carl Friedrich Gauss, et il a écrit un seul nombre : 5050.
Sa méthode ne consiste pas à additionner vite, mais à ne pas additionner. Repliez la liste sur elle-même et appariez le premier terme avec le dernier :
1 + 100 = 101 · 2 + 99 = 101 · 3 + 98 = 101 · … · 50 + 51 = 101
Chaque paire vaut 101, et il y en a 50 : la somme est 50 × 101 = 5050. Le même repli donne la formule générale. Écrivez la somme S des entiers de 1 à n une fois à l'endroit, une fois à l'envers, et additionnez colonne par colonne : chaque colonne vaut n + 1, il y en a n, donc 2S = n(n + 1), et
S = n (n + 1) / 2
Pour n = 10, cela donne 10 × 11 / 2 = 55 ; pour n = 100, 5050.
Ce dont on doute. L'anecdote ne vient pas de Gauss mais de Wolfgang Sartorius von Waltershausen, qui la publie en 1856, un an après la mort du mathématicien et soixante-dix ans après les faits. Sa version ne dit pas « de 1 à 100 » : elle parle d'une série arithmétique difficile, sans préciser laquelle. Les cent premiers entiers sont une commodité de récit, ajoutée plus tard. L'histoire est probablement vraie dans son principe et embellie dans son détail, ce qui est le sort ordinaire des anecdotes trop belles.
Dans le jeu : Le registre vide (acte 1) · La main avant le chiffre (acte 1)
Les nombres triangulaires
Les sommes 1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, … donnent 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28. On les appelle triangulaires parce qu'on peut ranger ces quantités de cailloux en triangle : un rang de un, puis de deux, puis de trois. Le n-ième vaut n(n + 1)/2, c'est-à-dire exactement la somme de Gauss.
Le quatrième, 10, s'appelait tetraktys chez les pythagoriciens, qui lui prêtaient une valeur sacrée : quatre rangs, dix unités, et les rapports 1:2, 2:3, 3:4 de l'harmonie musicale lisibles dans ses côtés.
Deux triangulaires consécutifs font un carré. Posez le triangle de côté 3 (six cailloux) contre celui de côté 4 (dix cailloux) en retournant l'un des deux : ils s'emboîtent en un carré de seize.
Tn−1 + Tn = n² · 6 + 10 = 16 = 4²
Ce genre d'identité se démontre par le calcul en trois lignes, mais elle se voit en déplaçant des cailloux. C'est la manière grecque : une figure vaut une preuve, à condition qu'on puisse la refaire pour n'importe quelle taille.
Les carrés, et la somme des nombres impairs
Un carré de douze cailloux sur douze en contient 144. La réponse est sans surprise ; ce qui l'est moins, c'est la façon dont un carré grandit.
Pour passer d'un carré de côté n au suivant, on ajoute une équerre le long de deux côtés : n cailloux d'un côté, n de l'autre, et un dans le coin, soit 2n + 1, toujours impair. Les Grecs appelaient cette équerre un gnomon. Empilez-les depuis le début :
1 = 1² 1 + 3 = 4 = 2² 1 + 3 + 5 = 9 = 3² 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4²
Autrement dit : la somme des n premiers nombres impairs vaut n². Ce n'est pas une coïncidence numérique, c'est la description exacte de la construction. On voit ici que les nombres impairs ne sont pas seulement « ceux qui ne se partagent pas en deux » : ce sont les accroissements des carrés.
De 1 à 100, les carrés sont 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 et 100 : il y en a exactement dix, puisque ce sont les carrés de 1 à 10. Leur rareté augmente vite : il n'y en a que 100 sous 10 000, soit un nombre sur cent.
Dans le jeu : Ranger en carré (acte 1) · La preuve avant la collection (acte 2)
La méthode des différences
Prenez les carrés : 1, 4, 9, 16, 25. Notez les écarts entre termes consécutifs : 3, 5, 7, 9. Notez maintenant les écarts de ces écarts : 2, 2, 2. La suite se stabilise au deuxième étage.
Ce n'est pas propre aux carrés. L'écart entre deux carrés consécutifs vaut
(n + 1)² − n² = n² + 2n + 1 − n² = 2n + 1
c'est-à-dire une quantité qui augmente de 2 à chaque pas, d'où la constante. Plus généralement, un polynôme de degré d voit ses différences se stabiliser au d-ième étage. La conséquence est considérable : on peut tabuler n'importe quel polynôme sans jamais faire une multiplication. Il suffit de connaître les premières valeurs de chaque étage et d'additionner de proche en proche.
C'est très exactement le principe de la machine que Charles Babbage entreprend en 1822 et qu'il nomme Difference Engine, la machine à différences. Elle ne sait qu'additionner ; c'est assez pour produire des tables de logarithmes et de navigation, dont les erreurs de copie coûtaient alors des navires. Babbage n'achèvera jamais la sienne, mais le principe, lui, était juste : un exemplaire construit d'après ses plans en 1991 fonctionne sans une erreur.
Dans le jeu : Des différences suffisent (acte 6)
Le triangle 5, 12, 13
Un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent 5 et 12 a pour hypoténuse 13, puisque 25 + 144 = 169 et que 169 = 13². Les triplets d'entiers qui vérifient a² + b² = c² s'appellent triplets pythagoriciens : 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25.
Euclide en donne une description complète. Prenez deux entiers m > n ; alors
a = m² − n² b = 2mn c = m² + n²
forme toujours un triplet. Pour m = 3 et n = 2 : 9 − 4 = 5, 2 × 3 × 2 = 12, 9 + 4 = 13. La formule ne trouve pas les triplets un à un : elle les engendre tous.
Ce dont on doute. La tablette babylonienne Plimpton 322, datée d'environ 1800 avant notre ère, aligne quinze lignes de nombres qu'on lit sans peine comme des triplets pythagoriciens, mille deux cents ans avant Pythagore. Ce qu'elle était n'est pas tranché : table trigonométrique avant l'heure, recueil d'exercices pour scribes, ou liste de couples commodes pour la résolution d'équations. L'existence des triplets ne fait aucun doute ; leur usage, si.
Dans le jeu : Le triangle qui ferme (acte 2)
1729, deux fois une somme de cubes
G. H. Hardy rend visite à Srinivasa Ramanujan, malade, dans un hôpital de Londres. Pour dire quelque chose, il remarque que le taxi qui l'a amené portait le numéro 1729, « un nombre plutôt terne ». Ramanujan répond aussitôt que non : c'est le plus petit entier qui s'écrit de deux façons comme somme de deux cubes.
1729 = 9³ + 10³ = 729 + 1000
1729 = 1³ + 12³ = 1 + 1728
D'où la valeur cherchée dans l'énigme : 12. On appelle depuis nombres taxicab les plus petits entiers exprimables de k façons différentes comme somme de deux cubes. Le suivant, celui qui s'écrit de trois façons, vaut 87 539 319, et l'on voit que la suite grimpe brutalement : le quatrième dépasse six mille milliards, et le sixième n'est connu que depuis 2003.
1729 cache autre chose. C'est un nombre de Carmichael, le troisième après 561 et 1105 : un nombre composé qui réussit pourtant le test de primalité de Fermat pour toutes les bases premières avec lui. Autrement dit, un imposteur : il se comporte comme un premier sans en être un, et 1729 = 7 × 13 × 19. Ces nombres sont la raison pour laquelle le test de Fermat seul ne suffit pas à établir qu'un nombre est premier.
Dans le jeu : Le taxi de Hardy (acte 6)